Calcular la función de onda de un átomo de hidrógeno usando la ecuación de Schrödinger

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Por Steven Holzner

Si su instructor de física cuántica le pide que encuentre la función de onda de un átomo de hidrógeno, puede comenzar con la ecuación radial de Schrödinger, Rnl(r), que le dice que

La ecuación anterior proviene de resolver la ecuación radial de Schrödinger:

La solución sólo es buena para una constante multiplicativa, por lo que se añade una constante de este tipo, Anl (que resulta depender del número cuántico principal n y del número cuántico del momento angular l), así:

Usted encuentra Anl normalizando Rnl(r).

Ahora trata de resolver para Rnl(r) simplemente haciendo las cuentas. Por ejemplo, trate de encontrar R10(r). En este caso, n = 1 y l = 0. Entonces, como N + l + 1 = n, tienes N = n – l – 1. Así que N = 0 aquí. Eso hace que Rnl(r) se vea así:

Y la suma en esta ecuación es igual a

Y porque l = 0, rl = 1, así que

Por lo tanto, también puede escribir

donde r0 es el radio de Bohr. Para encontrar A10 y a0, se normaliza

a 1, lo que significa integrar

sobre todo el espacio y ajustando el resultado a 1.

e integrando los armónicos esféricos, como Y00, sobre una esfera completa,

te da 1. Por lo tanto, te queda la parte radial para normalizar:

Taponamiento

en

te da

Puedes resolver este tipo de integral con la siguiente relación:

Con esta relación, la ecuación

se convierte

Por lo tanto,

Este es un resultado bastante simple. Debido a que A10 sólo está ahí para normalizar el resultado, puede ajustar A10 a 1 (este no sería el caso si

involucró múltiples términos). Por lo tanto,

Eso está bien, y hace que R10(r), que es

Sabes que

Y así

se convierte

Whew. En general, esto es lo que la función de onda

se parece al hidrógeno:

dónde

es un polinomio de Laguerre generalizado. Aquí están los primeros polinomios generalizados de Laguerre:

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