Calcular la pendiente de una función utilizando el cociente de diferencia

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Por Mark Ryan

Puede calcular la pendiente de una función utilizando el cociente de diferencia. El cociente de diferencia le permite calcular una pendiente si no tiene inicialmente dos puntos que conectar a la fórmula de pendiente.

Para calcular una pendiente, se necesitan dos puntos para conectarse a esta fórmula. Para una línea, esto es fácil. Sólo tienes que elegir dos puntos cualquiera de la línea y conectarlos. Pero no es tan simple si quieres, digamos, la pendiente de la parábola f (x) = x2 en el punto (2, 4). Mira la primera cifra.

f(x) = x2 (o y = x2) con un “/>El gráfico de f(x) = x2 (o y = x2) con una línea tangente en (2, 4).

Puede ver la línea dibujada tangente a la curva en (2, 4). Debido a que la pendiente de la línea tangente es la misma que la pendiente de la parábola en (2, 4), todo lo que necesitas es la pendiente de la línea tangente para darte la pendiente de la parábola. Pero no conoces la ecuación de la línea tangente, así que no puedes obtener el segundo punto -además del (2, 4)- que necesitas para la fórmula de la pendiente.

Así es como los inventores del cálculo sortearon esta barricada. La siguiente figura muestra de nuevo la línea tangente y una línea secante que cruza la parábola en (2, 4) y en (10, 100).

Definición de línea secante: Una línea secante es una línea que cruza una curva en dos puntos. Esto es un poco simplificado, pero servirá.

f(x) = x2 con una línea tangente y una línea secante”/>El gráfico de f(x) = x2 con una línea tangente y una línea secante.

La pendiente de esta línea secante viene dada por la fórmula de pendiente:

Puedes ver que esta línea secante es más empinada que la línea tangente, y por lo tanto la pendiente de la secante, 12, es más alta que la pendiente que estás buscando.

Ahora agrega un punto más en (6, 36) y dibuja otro secante usando ese punto y (2, 4) de nuevo, como se muestra en la siguiente figura.


f(x) = x2 con una línea tangente y dos líneas secantes”/>El gráfico de f(x) = x2 con una línea tangente y dos líneas secantes.

Calcule la pendiente de esta segunda secante:

Puede ver que esta línea secante es una mejor aproximación de la línea tangente que la primera.

Ahora, imagina lo que pasaría si agarras el punto en (6, 36) y lo deslizas por la parábola hacia (2, 4), arrastrando la línea secante junto con él. ¿Puedes ver que a medida que el punto se acerca más y más a (2, 4), la línea secante se acerca más y más a la línea tangencial, y que la pendiente de esta secante se acerca más y más a la pendiente de la tangente?

Así, puedes obtener la pendiente de la tangente si tomas el límite de las pendientes de esta secante en movimiento. Demos al punto en movimiento las coordenadas (x2,y2). A medida que este punto (x2,y2) se desliza cada vez más cerca de (x1,y1), es decir (2, 4), la carrera, que es igual a x1- x1, se acerca cada vez más a cero. Así que aquí está el límite que necesitas:

Observa lo que sucede con este límite cuando conectas cuatro puntos más en la parábola que están cada vez más cerca (2, 4):

Parece que la pendiente se dirige hacia la 4.

Como con todos los problemas de límite, la variable en este problema, x2 se aproxima pero nunca llega al número de la flecha (2 en este caso). Si llegara a 2 – lo que sucedería si deslizases la punta que agarraste a lo largo de la parábola hasta que estuviera realmente encima de (2, 4) – obtendrías

que es indefinida. Pero, por supuesto, la pendiente en (2, 4) es precisamente la pendiente que usted quiere – la pendiente de la línea cuando el punto aterriza encima de (2, 4). Aquí radica la belleza del proceso límite. Con este límite, se obtiene la pendiente exacta de la línea tangente en (2, 4) aunque la función límite,

genera pendientes de líneas secantes.

Aquí también está la ecuación para la pendiente de la línea tangente:

Y la pendiente de la línea tangencial es -usted lo adivinó- la derivada.

Significado del derivado: La derivada de una función f(x) en algún número x= c, escrita como

es la pendiente de la línea tangente a f dibujada en c.

La fracción de pendiente

se expresa con terminología algebraica. Ahora puedes reescribirlo para darle ese aspecto de cálculo de alto nivel. Pero primero, finalmente, la definición que estabas esperando.

Definición del cociente de diferencia: Hay un término de cálculo para la fracción de pendiente general,

cuando lo escribes de forma elegante y calculadora. Una fracción es un cociente, ¿verdad? Y ambas y2 – y1 y x2 – x1 son diferencias, ¿verdad? Así que, voilà, se llama cociente de diferencia. Aquí está:

(Esta es la forma más común de escribir el cociente de diferencia. Puedes encontrarte con otras formas equivalentes.

Vale, vamos a explicar este proceso en el que

se transforma en el cociente de diferencia.

Primero, la ejecución, x2 – x1 (en este ejemplo, x2 – 2), se llama h. Luego, porque x1 = 2 y la ejecución es igual a h,x2 es igual a 2 + h. Luego escriba y1 como f(2) e y2 como f(2 + h). Haciendo todas las sustituciones se obtiene la derivada de x2 a x = 2:

Recuerda que

es simplemente el encogimiento

se puede ver en la figura anterior, ya que el punto se desliza por la parábola hacia (2, 4).

La siguiente figura es básicamente la misma que la anterior, excepto que en lugar de puntos exactos como (6, 36) y (10, 100), el punto de deslizamiento tiene las coordenadas generales de (2 + h, f (2 + h)), y la subida y la bajada se expresan en términos de h.

f (x) = x2 mostrando cómo un límite produce la pendiente de la línea t”/>Gráfico de f (x) = x2 mostrando cómo un límite produce la pendiente de la línea tangente en (2, 4).

Así que esta cifra es la última gráfica para

¿Estás confundido por estas dos cifras? No te preocupes. Los dos muestran lo mismo. Ambas figuras son representaciones visuales de

Haciendo la matemática se obtiene, por fin, la pendiente de la línea tangente en (2, 4):

Así que la pendiente en el punto (2, 4) es 4.

Definición principal del derivado: Si reemplazas el punto (2, f(2)) en la ecuación límite con el punto general (x, f (x)), obtienes la definición general de la derivada como una función de x:

Por fin se ve que el derivado se define como el límite del cociente de diferencia.

La siguiente figura muestra gráficamente esta definición general. Note que esta figura es virtualmente idéntica a la anterior, excepto que las xs reemplazan a las 2s en la figura anterior y que el punto móvil en esta figura se desliza hacia abajo hacia cualquier punto antiguo (x, f (x)) en lugar de hacia el punto específico (2, f (2)).

f(x) = x2 mostrando cómo un límite produce la pendiente de la ta”/>Gráfico de f(x) = x2 mostrando cómo un límite produce la pendiente de la línea tangente en el punto general (x, f(x)).

Ahora calcula este límite y obtén la derivada para la parábola, f(x) = x2:

Así, para esta parábola, la derivada (que es la pendiente de la línea tangente en cada valor x) es igual a 2x. Conecta cualquier número a x, y obtendrás la pendiente de la parábola en ese valor de x. Inténtalo.

La figura final resume (de manera simplificada) todas las ideas difíciles que preceden al cociente de diferencia.


Resumiendo las ideasComo

las tres figuras anteriores, la figura final contiene un escalón de pendiente básica, una línea secante y una línea tangente. La pendiente de la línea secante es

La pendiente de la línea tangente es

y puedes ver por qué este es uno de los símbolos usados para la derivada. A medida que el peldaño de la escalera de la línea secante se reduce a nada, o, en otras palabras, en el límite como

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