Calcular una raíz de cubo utilizando la aproximación lineal

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Por Mark Ryan

La aproximación lineal no sólo es fácil de hacer, sino también muy útil! Por ejemplo, puedes usarlo para aproximar una raíz cúbica sin usar una calculadora.

Aquí hay un ejemplo. ¿Puedes aproximar

en tu cabeza? Sí que puedes! ¿Cómo?

Así: ¡Bingo! 4.125.

Bueno, está bien, hay un poco más que eso. Eche un vistazo a la figura y siga los pasos que se indican a continuación para obtener una imagen completa.

La línea tangente a la curva en (64, 4) puede ser usada para aproximar raíces cúbicas o números cercanos a 64

. Para estimar

siga estos pasos:

  1. Encuentra una raíz cúbica perfecta cercaNotarás que está cerca de un punto sin pensarlo, el cual, por supuesto, es 4. Eso te da el punto (64, 4) en la gráfica de
  2. Halla la pendiente de (que es la pendiente de la línea tangente) en x = 64. Esto te dice que – para aproximar las raíces del cubo cerca de 64 – sumas (o restas) a 4 por cada aumento (o disminución) de uno de 64. Por ejemplo, la raíz cúbica de 65 es sobre la raíz cúbica de 66 es sobre la raíz cúbica de 67 es sobre la raíz cúbica de 63 es sobre la raíz cúbica de 63.
  3. Usa la forma punto-pendiente para escribir la ecuación de la línea tangente en (64, 4) En la tercera línea de la ecuación anterior, pones el 4 en el frente del lado derecho de la ecuación (en lugar de en el extremo derecho que podría parecer más natural) por dos razones. Primero, porque al hacerlo hace que esta ecuación se mueva con la explicación al final del Paso 2 acerca de comenzar en 4 y subir (o bajar) desde allí a medida que te alejas del punto de tangencia. Y segundo, hacer que esta ecuación esté de acuerdo con la explicación al final del Paso 4. Verás cómo funciona todo en un minuto.
  4. Debido a que esta línea tangente corre tan cerca de la función cerca de x = 64, puedes usarla para estimar raíces de cubo de números cerca de 64, como en x = 70. Por cierto, en tu texto de cálculo, la forma simple de punto-pendiente de álgebra (primera línea de ecuación en el Paso 3) probablemente se reescriba en términos de cálculo de alto-faltante – como esto:

No te dejes intimidar por esta ecuación. Es sólo tu amigable y vieja ecuación de álgebra disfrazada. Míralo cuidadosamente término por término y verás que es matemáticamente idéntico a la ecuación punto-pendiente ajustada de la siguiente manera: y = y1 + m(x – x1). (Los diferentes números de subíndice, 0 y 1, no tienen importancia).

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