Cómo calcular el desplazamiento de un objeto que se mueve en dos dimensiones

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Por Steven Holzner

En física, el desplazamiento, que es un cambio de posición, tiene una magnitud y una dirección asociada a él. Cuando se tiene un cambio de posición en una dirección particular y de una distancia particular, estos son dados por la magnitud y dirección del vector de desplazamiento.

En lugar de escribir desplazamiento como s, deberías escribirlo como s, un vector (si estás escribiendo en papel, puedes poner una flecha sobre la s para indicar su estado vectorial). Cuando se habla de desplazamiento en el mundo real, la dirección es tan importante como la distancia.

Por ejemplo, diga que sus sueños se han hecho realidad: Usted es un gran héroe de béisbol o softball, golpeando otra línea en el campo. Despega hacia la primera base, que está a 90 pies de distancia. ¿Pero 90 pies en qué dirección? Debido a que usted sabe lo vital que es la física, usted sabe que la primera base está a 90 pies de distancia en un ángulo de 45 grados, como puede ver en esta figura.

Un diamante de béisbol es una serie de vectores relativos al eje x y al eje y.

Ahora estás listo, todo porque sabes que el desplazamiento es un vector. En este caso, aquí está el vector de desplazamiento:

s = 90 pies a 45 grados

¿Qué es eso en componentes?

A veces, trabajar con ángulos y magnitudes no es tan fácil como trabajar con componentes x e y. Por ejemplo, diga que está en el parque y pregunte cómo llegar al banco más cercano. La persona a la que le preguntas es muy precisa y deliberada y responde:”Ve al norte, 10,0 metros”.

“Norte 10.0 metros”, dices. “Gracias.”

“Luego al este 20.0 metros. Luego al norte otros 50.0 metros.”

“Hmm”, dices. “Norte 10.0 metros, luego 20.0 metros al este, y luego otros 50.0 metros al este… Me refiero al norte. ¿Es eso cierto?”

“Luego 60.0 metros al este.”

Miras a la persona con recelo. “¿Es eso todo?”

“Eso es todo”, dice ella. “El banco más cercano”.

Bien, es hora de un poco de física. El primer paso es traducir todo ese negocio del norte y este en coordenadas x e y como esta: (x, y). Asumiendo que el eje x positivo apunta al este y el eje y positivo apunta al norte (como en un mapa), el primer paso es 10.0 metros al norte, que se convierte en el siguiente (donde todas las medidas son en metros):

(0, 10.0)

Es decir, el primer paso es 10.0 metros al norte, lo que se traduce en 10.0 metros en la dirección positiva y. Sumando el segundo paso, 20.0 metros al este (la dirección x positiva), te da

El tercer paso es 50.0 metros al norte, y agregando eso te da

Y finalmente, el cuarto paso es 60.0 metros al este, lo que te da

Whew. Vale, ¿cuál es la suma de todos estos vectores? Sólo tienes que sumar los componentes:

Así que el vector resultante es (80.0, 60.0). Hmm, eso parece mucho más fácil que las direcciones que tienes. Ahora ya sabe qué hacer: proceda 80.0 metros al este y 60.0 metros al norte. ¿Ves lo fácil que es sumar vectores?

Puedes, si quieres, ir aún más lejos. Usted tiene el desplazamiento al banco más cercano en términos de componentes x e y. Pero parece que tendrás que caminar 80.0 metros hacia el este y luego 60.0 metros hacia el norte para encontrar el banco. ¿No sería más fácil si sólo supieras la dirección hacia el banco y la distancia total? Entonces usted podría cortar la esquina y simplemente caminar en línea recta directamente al banco.

Este es un ejemplo donde es bueno saber cómo convertir de la forma de coordenadas (x, y) de un vector a la forma de ángulo de magnitud. Y puedes hacerlo con todos los conocimientos de física que tienes. La conversión (80.0, 60.0) a la forma de ángulo de magnitud le permite cortar la esquina cuando camina hacia el banco, ahorrando unos pocos pasos.

Sabes que las componentes x e y de un vector forman un triángulo recto y que la magnitud total del vector es igual a la hipotenusa del triángulo recto, h.

Así que la magnitud de h es

Conectando los números se obtiene lo siguiente:

¡Voilà! El banco está a sólo 100 metros. Así que en lugar de caminar 80.0 metros hacia el este y luego 60.0 metros hacia el norte, una distancia total de 140 metros, sólo necesitas caminar 100 metros. Tu conocimiento superior de los vectores te ha ahorrado 40 metros.

¿Pero en qué dirección está el banco? Sabes que está a 100 metros, ¿pero a 100 metros en qué dirección? Encuentra el ángulo del eje x con este trigonometro:

Así que conectando los números.

Por lo tanto, el ángulo

es el siguiente (usando el práctico botón tan-1 de su calculadora):

Y ahí lo tienes: el banco más cercano está a 100 metros a 36,9 grados del eje X. Comienzas con confianza en línea recta a 36,9 grados desde el este, sorprendiendo a la persona que te dio la dirección, que esperaba que despegaras por el tonto sendero en zigzag que te había dado.

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