Cómo calcular el valor esperado, la desviación y la desviación estándar para una distribución t

Las distribuciones de probabilidad, incluyendo la distribución t, tienen varios momentos, incluyendo el valor esperado, la varianza y la desviación estándar (un momento es una medida de resumen de una distribución de probabilidad):

  • El primer momento de una distribución es el valor esperado, E(X), que representa el valor medio o medio de la distribución. Para la distribución t con grados de libertad, el valor medio (o esperado) es igual a o una distribución de probabilidad, y comúnmente designa el número de grados de libertad de una distribución.
  • El segundo momento central es la varianza y mide la extensión de la distribución sobre el valor esperado. Cuanto más extendida esté una distribución, más “extendida” estará la gráfica de la distribución. En otras palabras, las colas estarán más lejos de la media, y el área cerca de la media será más pequeña. Por ejemplo, en base a las siguientes cifras, se puede ver que la distribución t con 2 grados de libertad está mucho más extendida que la distribución t con 30 grados de libertad. Se utiliza la fórmula para calcular la varianza de la distribución t. La distribución normal estándar y la distribución t con dos grados de libertad, y la distribución normal estándar y la distribución t con 30 grados de libertad.

Por ejemplo, con 10 grados de libertad, la varianza de la distribución t se calcula sustituyendo 10 por 10 para

en la fórmula de desviación:

Con 30 grados de libertad, la varianza de la distribución t es igual a

Estos cálculos muestran que a medida que aumentan los grados de libertad, la varianza de la distribución t disminuye, acercándose progresivamente a 1.

  • La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza (no es un momento separado.) Para la distribución t, se encuentra la desviación estándar con esta fórmula:

Para la mayoría de las aplicaciones, la desviación estándar es una medida más útil que la varianza porque la desviación estándar y el valor esperado se miden en las mismas unidades mientras que la varianza se mide en unidades cuadradas. Por ejemplo, supongamos que se supone que los rendimientos de un portafolio siguen a la distribución t. Se mide tanto el valor esperado de los rendimientos como la desviación estándar como un porcentaje; se mide la desviación como un porcentaje cuadrado, lo cual es un concepto difícil de interpretar.

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