Cómo calcular la degeneración de energía de un átomo de hidrógeno en términos de n, l y m

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Por Steven Holzner

Cada estado cuántico del átomo de hidrógeno se especifica con tres números cuánticos: n (el número cuántico principal), l (el número cuántico del momento angular del electrón) y m (el componente z del momento angular del electrón),

¿Cuántos de estos estados tienen la misma energía? En otras palabras, ¿cuál es la degeneración de energía del átomo de hidrógeno en términos de los números cuánticos n, l y m?

Bien, la energía real depende sólo de n, como ves en la siguiente ecuación:

Eso significa que la E es independiente de l y m. Entonces, ¿cuántos estados, |n, l, m>, tienen la misma energía para un valor particular de n? Bueno, para un valor particular de n, puedo variar de cero a n – 1. Y cada uno de ellos puede tener diferentes valores de m, por lo que la degeneración total es

La degeneración en m es el número de estados con diferentes valores de m que tienen el mismo valor de l. Para cualquier valor particular de l, puedes tener valores de m de -l, -l + 1, …., 0, …, l – 1, l. Y eso es (2l + 1) posibles estados de m para un valor particular de l. Así que puedes conectar (2l + 1) para la degeneración en m:

Y esta serie resulta ser sólo n2.

Así que la degeneración de los niveles de energía del átomo de hidrógeno es n2. Por ejemplo, el estado de la tierra, n = 1, tiene degeneración = n2 = 1 (lo que tiene sentido porque l, y por lo tanto m, sólo puede ser igual a cero para este estado).

Para n = 2, tienes una degeneración de 4:

Genial.

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