Cómo calcular la longitud del arco con integración

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Cuando se usa la integración para calcular la longitud del arco, lo que se está haciendo es dividir una longitud de curva en secciones infinitesimalmente pequeñas, calculando la longitud de cada sección pequeña, y luego sumando todas las longitudes pequeñas. La siguiente figura muestra cómo cada sección de una curva puede ser aproximada por la hipotenusa de un pequeño triángulo rectángulo.

El Teorema de Pitágoras es la clave para la fórmula de la longitud del arco.

Puedes imaginarte que a medida que acercas más y más una curva, dividiendo la curva en más y más secciones, las secciones diminutas se vuelven más rectas y más rectas y los hipotenios de los triángulos rectos se aproximan cada vez mejor a la curva. Por eso, cuando este proceso de sumar secciones cada vez más pequeñas se lleva al límite, se obtiene la longitud exacta de la curva.

Por lo tanto, todo lo que tienes que hacer es sumar todos los hipotenios a lo largo de la curva entre el punto de partida y el de llegada. Las longitudes de las patas de cada triángulo infinitesimal son dx y dy, y por lo tanto la longitud de la hipotenusa – dada por el Teorema de Pitágoras – es

Para sumar todos los hipotenios de a a a b a lo largo de la curva, sólo tienes que integrar:

Pero primero, tienes que ajustar esto un poco para producir la fórmula para la longitud del arco.

La longitud del arco a lo largo de una curva, y=f(x), de a a a b, viene dada por la siguiente integral:

La expresión dentro de esta integral es simplemente la longitud de una hipotenusa representativa.

Prueba este: ¿Cuál es la longitud a lo largo de

de x = 1 a x = 5?

  1. Tome la derivada de su función.
  2. Enchufa esto en la fórmula e inténtalo (¿Ves cómo funciona?) Es la técnica de integración de adivinar y comprobar con la regla de potencia inversa. El 4/9 es la cantidad de ajuste que necesita debido al coeficiente 9/4.)

Ahora, si alguna vez te encuentras en una carretera con la forma de

y tu cuentakilómetros está roto, puedes calcular la longitud exacta de tu disco. Sus amigos quedarán muy impresionados – o muy preocupados.

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