Cómo calcular la velocidad instantánea con límites

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Puede calcular la velocidad instantánea de un objeto utilizando límites. Diga que usted y su gato amante del cálculo están pasando el rato un día, y usted decide tirar una pelota por la ventana de su segundo piso. Aquí está la fórmula que te dice hasta dónde ha caído la bola después de un número dado de segundos (ignorando la resistencia del aire):

(donde h es la altura de la caída de la pelota, en pies, y t es la cantidad de tiempo desde que la pelota fue lanzada, en segundos).

Si enchufas 1 en t, h es 16; así que la bola cae 16 pies durante el primer segundo.

Ahora, ¿qué pasaría si quisieras determinar la velocidad de la pelota exactamente 1 segundo después de que la dejaste caer? Puedes empezar por sacar esta confiable fórmula:

Usando la fórmula de velocidad, usted puede fácilmente calcular la velocidad promedio de la bola durante el segundo segundo segundo de su caída. Debido a que cayó 16 pies después de 1 segundo y un total de 64 pies después de 2 segundos, cayó 64 – 16, o 48 pies, de t = 1 segundo a t = 2 segundos.

La siguiente fórmula le da la velocidad media:

Pero esta no es la respuesta que quieres porque la bola cae cada vez más rápido a medida que cae, y quieres saber su velocidad exactamente 1 segundo después de que la dejas caer. La bola acelera entre 1 y 2 segundos, por lo que esta velocidad promedio de 48 pies por segundo durante el segundo segundo segundo es seguramente más rápida que la velocidad instantánea de la bola al final de su primer segundo.

Para una mejor aproximación, calcular la velocidad media entre t = 1 segundo y t = 1,5 segundos.

Su velocidad media es así:

Si continúa este proceso durante un cuarto de segundo, una décima de segundo, luego una centésima, una milésima y una décima milésima de segundo, llegará a la lista de velocidades medias que se muestra en esta tabla.

Velocidades medias de 1 segundo a t segundos
t segundos21 1/21 1/41 1/101 1/1001 1/1,0001 1/10,000Velocidad media de 1 seg. a t sec.48403633.632.1632.01632.0032.0016Al acercarse

más y más a 1 segundo, las velocidades medias parecen acercarse más y más a 32 pies por segundo.

Aquí está la fórmula que puedes usar para generar los números de la tabla. Le da la velocidad media entre 1 segundo y t segundos:

La siguiente figura muestra un gráfico de esta ecuación.

Este gráfico es idéntico al gráfico de la línea y= 16t + 16, excepto por el agujero en (1, 32).

Hay un agujero porque si enchufas 1 en t en la función de velocidad media, obtienes

que es indefinida. ¿Y por qué obtuviste 0/0? Debido a que estás tratando de determinar una velocidad promedio – que es igual a la distancia total dividida por el tiempo transcurrido – de t = 1 a t = 1. Pero de t= 1 a t = 1 es, por supuesto, sin tiempo, y “durante” este punto en el tiempo, la bola no recorre ninguna distancia, por lo que obtienes

Obviamente hay un problema aquí. Agárrese el sombrero, ha llegado a uno de los grandes momentos del desarrollo del cálculo diferencial.

La velocidad instantánea se define como el límite de la función de velocidad media cuando el tiempo transcurrido se acerca a cero.

El hecho de que el tiempo transcurrido nunca llegue a cero no afecta la precisión de la respuesta a este problema límite – la respuesta es exactamente 32 pies por segundo, la altura del agujero en la figura. Treinta y dos es la respuesta porque a medida que x se acerca más y más a 1, y se acerca más y más a 32. Lo que es notable de los límites es que le permiten calcular la velocidad precisa e instantánea en un solo punto en el tiempo tomando el límite de una función que se basa en un tiempo transcurrido, un período entre dos puntos de tiempo.

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