Cómo calcular los resultados de las funciones racionales

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En el pre-cálculo, se pueden calcular salidas para funciones racionales. Una función racional es una función que puede expresarse como el cociente de dos polinomios, de manera que

donde el grado de q(x) es mayor que cero.

Aquí están los pasos necesarios para encontrar los resultados de las funciones racionales (y finalmente graficarlas):

  • Buscar asíntotas verticales: tener la variable en el fondo de una fracción es un problema, porque el denominador de una fracción nunca puede ser cero. Normalmente, algunos valores de dominio de x hacen que el denominador sea cero. Si existe un valor de x que hace que el denominador sea cero, pero no el numerador, entonces la gráfica tiene lo que se llama una asíntotata vertical sobre este valor de x. Graficar la asíntota vertical primero le muestra el número en el dominio por el que su gráfico no puede pasar. El gráfico se acerca a este punto pero nunca lo alcanza. Con eso en mente, ¿qué valor(es) para x no se puede conectar a la función racional? las siguientes funciones son todas racionales: Trate de encontrar el valor para x en el que la función es indefinida. Usa los siguientes pasos para encontrar la asíntota vertical para f(x) primero: Establece el denominador de la función racional igual a cero. f(x), x2 + 4x – 21 = 0. Resuelve esta ecuación para x. Debido a que esta ecuación es cuadrática, trata de factorizarla. Este factor cuadrático a (x + 7)(x – 3) = 0. Ponga cada factor igual a cero para resolver. Si x + 7 = 0, x = -7. Si x – 3 = 0, x = 3. Sus dos asíntotas verticales, por lo tanto, son x = -7 y x = 3, como se muestra en la figura. Sigue el mismo conjunto de pasos:4 – 3x = 0x = 4/3Ahora tienes tu asíntota vertical para g(x). Eso fue fácil! Tiempo para hacer todo de nuevo para h(x):x + 2 = 0x = -2Mantén estas ecuaciones para las asíntotas verticales cerca porque las necesitarás cuando grafiques más tarde.
  • Para encontrar una asíntota horizontal de una función racional, es necesario mirar el grado de los polinomios en el numerador y el denominador. El grado es la potencia más alta de la variable en la expresión polinómica. Si el denominador tiene el grado mayor (como en el ejemplo de f(x) en el Paso 1), la asíntota horizontal automáticamente es el eje x, o y = 0.Si el numerador y el denominador tienen un grado igual, debe dividir los coeficientes principales (los coeficientes de los términos con los grados más altos) para hallar la asíntota horizontal.si los términos con los grados más altos no se escriben primero en el polinomio, puede reescribir ambos polinomios de manera que los grados más altos lleguen Por ejemplo, puede reescribir el denominador de g(x) como -3x + 4 para que aparezca en orden descendente, la función g(x) tiene grados iguales en la parte superior e inferior. Para encontrar la asíntota horizontal, divida los coeficientes principales en los términos de mayor grado: Ahora tiene su asíntota horizontal para g(x). Si el numerador tiene el grado mayor de exactamente uno más que el denominador, el gráfico tendrá una asíntota oblicua; vea el Paso 3 para más información sobre cómo proceder.
  • Las asíntotas oblicuas no son ni horizontales ni verticales. De hecho, una asíntota no tiene que ser una línea recta en absoluto; puede ser una curva leve o una curva realmente complicada, para encontrar una asíntota oblicua hay que usar una división larga de polinomios para encontrar el cociente. Se toma el denominador de la función racional y se divide en el numerador. El cociente (descuidando el resto) le da la ecuación de la línea de su asíntota oblicua. usted debe entender la división larga de polinomios para completar el gráfico de una función racional con una asíntota oblicua. el ejemplo de h(x) del paso 1 tiene una asíntota oblicua porque el numerador tiene el grado más alto en el polinomio. Usando la división larga, se obtiene un cociente de x – 2. Este cociente significa que la asíntota oblicua sigue la ecuación y = x – 2. Debido a que esta ecuación es de primer grado, se grafica usando la forma pendiente-intercepción. Tenga en cuenta esta asíntota oblicua, ¡porque los gráficos se acercan!
  • Localiza las intersecciones x e y. La última pieza del rompecabezas es encontrar las intersecciones (donde la línea o curva cruza los ejes x e y) de la función racional, si existe alguna:Para encontrar la intersección y de una ecuación, establece x = 0. (Enchufa 0 donde sea que veas x.)) La intersección y de f(x) del Paso 1, por ejemplo, es 1/21. Para encontrar la intersección x de una ecuación, establecer y = 0 y resolver para x. Para cualquier función racional, el atajo para encontrar la intersección x es establecer el numerador igual a cero y luego resolver. A veces cuando haces esto, sin embargo, la ecuación que obtienes es irresoluble, lo que significa que la función racional no tiene una intersección x. La intersección x de f(x) es 1/3. Esta figura muestra la gráfica para f(x). Ahora encuentra las intersecciones para g(x) y h(x) del Paso 1. Haciendo esto, encuentras los siguientes puntos: g(x) tiene una intersección y en 3 y una intersección x en -2.h(x) tiene una intersección y en -9/2 y una intersección x en -9/2.
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