Cómo funciona la función de área

Rate this post
  1. Educación
  2. Matemáticas
  3. Cálculo
  4. Cómo funciona la función de área

La función de área es un poco rara. Prepárate. Digamos que tienes alguna función antigua, f(t). Imagina que a algún valor t, llámalo s, dibujas una línea vertical fija. (Tenga en cuenta que debido a que esta línea es fija, s es una constante, no una variable).

Luego, agrega una línea vertical movible (la línea de puntos en la figura) en el valor t x. Comienza con la línea de puntos en s(“s” es para el punto de inicio), y luego la arrastra hacia la derecha. A medida que arrastras la línea, barres un área cada vez más grande debajo de la curva entre s y x. Esta área es una función de x, la posición de la línea en movimiento.

En símbolos, usted escribe

El dt es un pequeño incremento a lo largo del eje t – en realidad un incremento infinitesimalmente pequeño.

He aquí un ejemplo sencillo para asegurarse de que tiene una idea de cómo funciona la función de área. Por cierto, no te sientas mal si encuentras esto extremadamente difícil de entender – tienes mucha compañía. Digamos que tienes la función simple f(t) = 10 – esa es una línea horizontal a y = 10. Si se barre el área a partir de s = 3, se obtiene la siguiente función de área:

Puedes ver que el área barrida de 3 a 4 es 10 porque, al arrastrar la línea de 3 a 4, barres un rectángulo con un ancho de 1 y un alto de 10, que tiene un área de 1 por 10, o 10. Véase la figura a continuación.

Ahora, imagina que arrastras la línea a una velocidad de una unidad por segundo. Comienzas en x = 3, y golpeas 4 en 1 segundo, 5 en 2 segundos, 6 en 3 segundos, y así sucesivamente. ¿Cuánta área estás barriendo por segundo? Diez unidades cuadradas por segundo porque cada segundo se barre otro rectángulo de 1×10. Note – esto es enorme – que debido a que el ancho de cada rectángulo que usted barre es 1, el área de cada rectángulo – la cual es dada por la altura por el ancho – es la misma que su altura porque cualquier cosa por 1 es igual a sí misma. Verás por qué esto es enorme en un minuto.

Bien, ¿estás sentada? Has llegado a uno de los grandes momentos de la historia de las matemáticas. Recuerde que un derivado es una tasa. Por lo tanto, dado que la velocidad a la que crece la función de área anterior es de 10 unidades cuadradas por segundo, se puede decir que su derivado es igual a 10. Así, puedes escribir –

Ahora aquí está la cosa crítica: Note que esta tasa o derivada de 10 es la misma que la altura de la función original f(t) = 10 porque a medida que se atraviesa 1 unidad, se barre un rectángulo que es de 1 por 10, el cual tiene un área de 10, la altura de la función.

Esto funciona para cualquier función, no sólo para las líneas horizontales. La siguiente figura muestra la función g(t) y su función de área

que barre el área comenzando en s = 2.

Puedes ver que

es aproximadamente 20 porque el área barrida entre 2 y 3 tiene un ancho de 1 y la parte superior curvada del “rectángulo” tiene una altura media de alrededor de 20. Así que, durante este intervalo, la tasa de crecimiento de

es de unas 20 unidades cuadradas por segundo. Entre 3 y 4, usted barre alrededor de 15 unidades cuadradas de área porque esa es aproximadamente la altura promedio de g(t) entre 15 y 4. Así, durante el segundo número dos – el intervalo de x = 3 a x = 4 – la tasa de crecimiento de

es de unos 15 años.

La tasa de área que se barre bajo una curva por una función de área en un valor de x dado es igual a la altura de la curva en ese valor de x.

Aunque es un poco suelto – en la discusión de la figura anterior – decir cosas como “aproximadamente” esto y “promedio” eso, no te preocupes; cuando hagas los cálculos, todo sale bien. Lo importante es concentrarse en que la tasa de área que se barre bajo una curva es la misma que la altura de la curva.

Leave a Reply