Cómo usar la diferenciación para calcular el volumen máximo de una caja

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Uno de los usos más prácticos de la diferenciación es encontrar el valor máximo o mínimo de una función del mundo real. En el siguiente ejemplo, se calcula el volumen máximo de una caja que no tiene tapa y que debe fabricarse a partir de un trozo de cartón de 30 pulgadas por 30 pulgadas, cortándolo y doblándolo como se muestra en la figura.

¿Qué dimensiones producen una caja que tiene el máximo volumen? Las matemáticas a menudo parecen abstractas y poco prácticas, pero aquí hay un problema práctico de honestidad. Si un fabricante puede vender cajas más grandes por más dinero, y él o ella está haciendo un millón de cajas, es mejor que usted crea que él o ella querrá la respuesta exacta a esta pregunta:

  1. Expresar la cosa que se quiere maximizar, el volumen, en función de lo desconocido, la altura de la caja (que es la misma que la longitud del corte).
  2. La altura no puede ser negativa ni superior a 15 pulgadas (el cartón tiene sólo 30 pulgadas de ancho, así que la mitad de esa altura es la altura máxima). Así, los valores sensibles para h son 0 ≤ h ≤ h ≤ 15.
  3. Encuentra los números críticos de V(h) en el intervalo abierto (0, 15) estableciendo su derivada igual a cero y resolviendo. Y no olvides comprobar los números en los que el derivado no está definido, ya que el 15 no está en el intervalo abierto (0, 15), por lo que no califica como un número crítico. Y como esta derivada se define para todos los valores de entrada, no hay números críticos adicionales. Así que, 5 es el único número crítico.
  4. Evalúe la función en el número crítico, 5, y en los puntos finales del intervalo, 0 y 15, para localizar el valor máximo de la función.

El extremum (cavar esa palabra de fantasía para máximo o mínimo) que usted está buscando no ocurre a menudo en un punto final, pero puede – así que no deje de evaluar la función en los dos puntos finales del intervalo.

Usted tiene su respuesta: una altura de 5 pulgadas produce la caja con un volumen máximo (2000 pulgadas cúbicas). Debido a que la longitud y el ancho son iguales a 30 – 2h, una altura de 5 pulgadas da una longitud y un ancho de 30 – 2 – 5, o 20 pulgadas. Por lo tanto, las dimensiones de la caja deseada son de 5 pulgadas por 20 pulgadas por 20 pulgadas.

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