La Definición de la Integral Definitiva y Cómo Funciona

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Puede aproximar el área bajo una curva sumando los rectángulos del punto derecho, izquierdo o medio. Para encontrar un área exacta, necesita usar una integral definida.

Cuando se aproxima el área bajo una curva, la parte superior de los rectángulos forman una forma de diente de sierra que no encaja perfectamente a lo largo de la función de curvatura suave. Por lo tanto, para encontrar el área exacta bajo una curva usando rectángulos, necesitarías encontrar el área de un número infinito de rectángulos infinitamente delgados cuyas “tapas” encajan perfectamente en la curva. Ahora bien, no se puede utilizar un número infinito de rectángulos, pero con la fantástica invención de los límites, esto es lo que sucede.

Aquí está la definición “simple” de la integral definida que se usa para calcular áreas exactas. Se basa en el límite de una suma de Riemann de rectángulos rectos. El área exacta bajo una curva entre a y b viene dada por la integral definida, que se define de la siguiente manera:

Cuando se calcula un área aproximada o exacta bajo una curva, las tres sumas – izquierda, derecha y punto medio – se llaman sumas de Riemann en honor al gran matemático alemán G. F. B. Riemann (1826-66). Básicamente, cualquier suma hecha de rectángulos es una suma de Riemann, incluyendo las extrañas sumas que consisten en rectángulos de ancho desigual.

Usando esta fórmula, aquí está el área exacta bajo x2 + 1 entre 0 y 3:

Este resultado es bastante asombroso si lo piensas. Usando el proceso de límite, usted obtiene una respuesta exacta de 12 – que es como 12.000000000000… precisa hasta un número infinito de decimales – para el área bajo la función de curvatura suave, x2 + 1, basada en las áreas de rectángulos planos que corren a lo largo de la curva en forma de dientes de sierra dentados.

Encontrar el área exacta de 12 usando el límite de una suma de Riemann es mucho trabajo. Este complicado método de integración es comparable a la determinación de un derivado por la vía difícil usando la definición formal que se basa en el cociente de diferencia. Y como usar el cociente de diferencia para encontrar un derivado, no usarás el límite de una suma de Riemann para calcular el área una vez que aprendas el método de acceso directo para encontrar el área.

Acabas de calcular el área bajo x2 + 1, usando la fórmula de la suma de los rectángulos rectos. (Por cierto, si vas a calcular el área de la manera difícil usando el límite de una suma de Riemann, también puedes usar siempre rectángulos rectos; es probablemente la manera más fácil de hacerlo). Resulta, sin embargo, que podrías haber usado rectángulos izquierdos o rectángulos de punto medio. De hecho, podrías haber usado una mezcla de diferentes tipos de rectángulos (no intentes esto en casa). No importa qué tipo de rectángulos utilice, el límite siempre es el mismo.

Esto le lleva a la siguiente jerga de integración totalmente extrema y sucia que tiene en cuenta todas estas posibilidades. Probablemente nunca usará la siguiente definición de la integral definitiva. Entonces, ¿por qué deberías aprenderlo? Buena pregunta. ¿Qué tal por la belleza de las matemáticas puras? O, si usted no compra eso y sólo está interesado en una razón práctica, la única motivación práctica para aprender esta definición es que podría estar en un examen.

La Integral Definitiva (definición real-McCoy):

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